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必修2—直線與平面垂直的判定教案
閱讀次數:912    發布時間:2015年11月25日    

 一、內容和內容解析

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況,它是空間中直線與直線垂直位置關系的拓展,又是平面與平面垂直的基礎,是空間中垂直位置關系間轉化的重心,同時它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內容的基礎,因而它是空間點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一。

直線與平面垂直的定義:如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直,就稱這條直線與這個平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。定義本身也表明了直線與平面垂直的意義,即如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線就垂直于這個平面內的所有直線。

直線與平面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。該定理把原來定義中要求與任意一條(無限)直線垂直轉化為只要與兩條(有限)相交直線垂直就行了,使直線與平面垂直的判定簡捷而又具有可操作性。

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認知過程展開,而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認、歸納總結、初步運用”的認知過程展開,通過該內容的學習,進一步培養學生空間想象能力和幾何直觀能力,發展學生的合情推理能力、一定的推理論證能力和運用圖形語言進行交流的能力。同時體驗和感悟轉化的數學思想,即“空間問題轉化為平面問題”,“無限問題轉化為有限問題”,“ 直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉化”。

教學重點:直觀感知、操作確認,概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、目標和目標解析

目標:理解直線與平面垂直的意義,掌握直線與平面垂直的判定定理。

目標解析:

1、借助對圖片、實例的觀察,抽象概括出直線與平面垂直的定義。

2、通過直觀感知、操作確認,歸納出直線與平面垂直的判定定理。

3、能運用直線與平面垂直的判定定理,證明與直線和平面垂直有關的簡單命題:在平面內選擇兩條相交直線,證明它們與平面外的直線垂直。

4、能運用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直,即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

三、教學問題診斷分析

學生已經學習了直線、平面平行的判定及性質,學習了兩直線(共面或異面)互相垂直的位置關系,有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會,有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。

在直線與平面垂直的判定定理中,學生對為什么要且只要兩條相交直線的理解有一定的困難,因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”,這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生形成理解上的思維障礙。同時,由于學生的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強,在直線與平面垂直判定定理的運用中,不知如何選擇已知平面內的兩條相交直線證直線與平面線垂直,或選擇與直線垂直的平面證明直線與直線垂直,導致證明過程中無從著手或發生錯誤。

教學難點:操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及其初步運用。

四、教學支持條件分析

為了有效實現教學目標,條件許可準備投影儀,多媒體課件,三角板,教鞭(表直線)。學生自備學具:三角形紙片、三角板、筆(表直線)、課本(表平面)。  

五、教學過程設計

(一)、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1:請同學們觀察圖片,說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系?你能舉出一些類似的例子嗎?

設計意圖:從實際背景出發,直觀感知直線和平面垂直的位置關系,從而建立初步印象,為下一步的數學抽象做準備。

師生活動:觀察圖片,引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子,如教室內直立的墻角線和地面的位置關系,直立書的書脊與桌面的位置關系等,由此引出課題。

2、觀察歸納

思考1:直線和平面垂直的意義是什么?

我們已經學過直線和平面平行的判定和性質,知道直線和平面平行的問題可轉化為考察直線和平面內直線平行的關系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉化為考察直線和平面內直線的關系。

問題2:(1)如圖1,在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC,旗桿所在的直線與影子所在直線的位置關系是什么?

(2)旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B′C′的位置關系又是什么?由此可以得到什么結論?

設計意圖:引導學生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題,通過觀察思考,感知直線與平面垂直的本質內涵。

師生活動:學生思考作答, 教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程,再引導學生根據異面直線所成角的概念得出旗桿所在直線與地面內的任意一條直線都垂直。

問題3:如圖2,AC、AD是用來固定旗桿AB的鐵鏈,它們與地面內任意一條直線都垂直嗎?

設計意圖:通過反面剖析,進一步感悟直線與平面垂直的本質。

師生活動:引導學生將三角板直立于桌面上,用一直角邊作旗桿AB,斜邊作為鐵鏈AC,觀察桌面上的直線(用筆表示)是否與AC垂直,由此否定上述結論。

問題4、通過上述觀察分析,你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直?

設計意圖:讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動:學生回答,教師補充完善,指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞,同時給出直線與平面垂直的記法與畫法。

定義:如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直,我們就說直線 l與平面α互相垂直,記作: l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足

畫法:畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖3。

3、辨析討論

辨析1:下列命題是否正確,為什么?

(1)如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線,那么這條直線與這個平面垂直。

(2)如果一條直線垂直一個平面,那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線。

設計意圖:通過問題辨析與討論,加深概念的理解,掌握概念的本質屬性。由(1)使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思。由(2)使學生明確,直線與平面垂直的定義既是判定又是性質,“直線與直線垂直”和“直線與平面垂直”可以相互轉化。

師生活動:命題(1)判斷中引導學生用筆表直線,用三角板兩直角邊表兩垂直直線,用書本表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進行演示,將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在黑板面上,這時另一 條直角邊BC就和黑板面的一條直線(即三角板與黑板面的交線AC)垂直,在此基礎上在黑板面上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動,那么BC始終和EF垂直,但BC不一定和黑板面垂直,最后教師給出反例的直觀圖4。由命題(2)給出下列常用命題:

指出它是判斷直線與直線垂直的常用方法,它將直線與直線垂直的問題轉化為判定一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

(二)、探究發現直線與平面垂直的判定定理

1、分析實例

思考2:我們該如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直?

雖然可以根據直線與平面垂直的定義判定直線與平面垂直,但由于利用定義判定直線與平面垂直需要考察平面內的每一條直線與已知直線是否垂直,這種方法實際上難以實施,因為我們無法去一一檢驗。因而有必要尋找一個便捷、可行的判斷直線和平面垂直的方法。

問題5、如圖,觀察跨欄、簡易木架等實物,你認為其豎桿能豎直立于地面的原因是什么?

設計意圖:通過圖片觀察思考,感知判定直線與平面垂直時只需平面內有限條直線(兩條相交直線),從中體驗有限與無限之間的辯證關系。

師生活動:引導學生觀察思考,師生共同分析豎桿能豎直立于地面的原因:它固定在兩相交橫桿上且與兩橫桿垂直。

2、操作確認

實驗:如圖5,請同學們拿出準備好的一塊(任意)三角形的紙片,我們一起來做一個試驗:過△ABC的頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上,(BD、DC與桌面接觸).

問題6:(1)折痕AD與桌面垂直嗎?

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直?

設計意圖:通過觀察試驗,分析折痕AD與桌面不垂直的原因,探究發現折痕AD與桌面垂直的條件。

師生活動:在折紙試驗中,學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況,引導學生進行交流,根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學生再次折紙,經過討論交流,發現當且僅當折痕AD是BC邊上的高,即AD⊥BC,翻折后折痕AD與桌面垂直。

問題7: 如圖6, 由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關系,即AD⊥CD,AD⊥BD發生變化嗎?由此你能得到什么結論?

設計意圖:引導學生發現折痕AD與桌面垂直的條件:AD垂直桌面內兩條相交直線。

師生活動:師生共同分析折痕AD是BC邊上的高時的實質:AD是BC邊上的高時,翻折之后垂直關系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD。這就是說,當AD垂直于桌面內的兩條兩條相交直線CD、BD時,它就垂直于桌面。

問題8:(1)如圖7,把AD、BD、CD抽象為直線 ,把桌面抽象為平面,直線與平面垂直的條件是什么?

(2)如圖8,若α內兩條相交直線無公共點且,直線還垂直平面α嗎?由此你能給出判定直線與平面垂直的方法嗎?

設計意圖:讓學生歸納出直線與平面垂直的判定定理,并能用符號語言準確表示,使學生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的。

師生活動:學生敘述結論,不完善的地方教師引導、補充完整,并結合“兩條相交直線確定一個平面”的事實作簡要說明。然后讓學生用圖形語言與符號語言來表示定理。指出定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

定理:一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為:

3、質疑深化

辨析2:下列命題是否正確,為什么?

如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直,那么這條直線垂直于梯形所在的平面。

設計意圖:通過辨析,強化定理中“兩條相交直線”的條件。

師生活動:學生思考作答,教師再次強調“相交”條件。

(三)、初步應用

例1、求證:與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設計意圖:初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題,明確運用判定定理的條件。

師生活動:學生根據題意畫圖(如圖9),將其轉化為幾何命題:△ABC中,a⊥AC,a⊥BC,求證:a⊥AB。請兩位同學板演,其余同學在練習本上完成,師生共同評析,明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟,防止缺少條件,特別是“相交”的條件。

例2、如圖10,已知a∥b,a⊥α,求證:b⊥α。

設計意圖:進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理或用定義證明直線與平面垂直,體會空間中平行關系與垂直關系的轉化與聯系。

師生活動:教師引導學生分析思路,可用判定定理證,也可利用定義證,提示輔助線的添法。學生在練習本上完成,對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。讓學生用文字語言敘述:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面。指出:命題體現了平行關系與垂直關系的聯系,其結果可以作為直線和平面垂直的又一個判定方法。

練習、如圖11,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AA1、CC1的中點,判斷下列結論是否正確:

 ① AC⊥面CDD1C1       ② AC⊥面BDD1B1

 ③ EF⊥面BDD1B1       ④ AC⊥BD1

設計意圖:利用所學知識解決直線與平面垂直的有關問題,體會轉化思想在解決問題中的作用。其中①是定義的應用,②是判定定理的應用,③是例2結論的應用,④是判定定理與定義的應用。

師生活動:學生思考討論,請一位同學用投影儀展示并分析其思路,教師參與討論。

(四)、總結反思

(1)通過本節課的學習,你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法?

(2)上述判斷直線與平面垂直的方法體現了什么數學思想?

(3)關于直線與平面垂直你還有什么問題?

設計意圖:培養學生反思的習慣,鼓勵學生對問題進行質疑和概括。

師生活動:學生發言,互相補充,教師點評完善,歸納出判斷直線與平面垂直的三種方法:利用定義,利用判定定理,利用例2的結論。這些方法體現了轉化的數學思想。同時強調“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路。

六、目標檢測設計

1、如圖,點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,O是對角線AC與BD的交點,且PA=PC,PB=PD. 求證:PO⊥平面ABCD。

2、課本P74 練習1

3、課本P73 探究題:如圖,直四棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,底面四邊形滿足什么條件時,

4、設計一個檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直的方案,寫出實施步驟和依據。

設計意圖:通過訓練,鞏固本課所學知識,感悟其中蘊涵的轉化數學思想,增強學生的應用意識。其中第1題主要運用直線與平面垂直的判定定理,第2、3題是活用直線與平面垂直的定義與判定定理,第4題前后呼應,為解決課中給出的問題提供各種方案,是本課所學知識的實際應用。

 


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